Упр.335 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее значение функции:
   1) $$x\sqrt[3]{5-3x^2}$$ на интервале $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$;
   2) $$x\sqrt{1-x^2}$$ на интервале $$(0;1)$$.

1. $$y=x\sqrt[3]{5-3x^2}, \quad x\in\left[0;\sqrt{\frac53}\right].$$

   Найдём производную:

   $$y’=\sqrt[3]{5-3x^2}+x\cdot \frac13(5-3x^2)^{-2/3}\cdot(-6x)$$

   $$y’=\sqrt[3]{5-3x^2}-\frac{2x^2}{\sqrt[3]{(5-3x^2)^2}} =\frac{5-3x^2-2x^2}{\sqrt[3]{(5-3x^2)^2}} =\frac{5-5x^2}{\sqrt[3]{(5-3x^2)^2}}.$$

   Так как знаменатель положителен на данном промежутке, то знак производной определяется числителем:

   $$5-5x^2\ge 0 \iff x^2\le 1 \iff 0\le x\le 1.$$

   Значит, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;\sqrt{\frac53}]$$, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y_{\max}=1\cdot \sqrt[3]{5-3}=\sqrt[3]{2}.$$

2. $$y=x\sqrt{1-x^2}, \quad x\in(0;1).$$

   Найдём производную:

   $$y’=\sqrt{1-x^2}+x\cdot \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x)$$

   $$y’=\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

   На интервале $$(0;1)$$ знаменатель положителен, поэтому

   $$y’=0 \iff 1-2x^2=0 \iff x=\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Это точка максимума. Тогда

   $$y_{\max}=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{1-\frac12} =\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{1}{\sqrt2} =\frac12.$$

Ответ

1) $$\sqrt[3]{2}$$; 2) $$\frac12$$.