Упр.334 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
   
   1) $$f(x)=2\sin x+\sin 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$;
   
   2) $$f(x)=2\cos x+\sin 2x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$;
   
   3) $$f(x)=3\sin x+4\cos 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$;
   
   4) $$f(x)=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

1. $$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$

   $$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x$$

   Найдём стационарные точки:

   $$2\cos x+2\cos 2x=0$$

   $$2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=0$$

   $$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$\cos x=\frac{-1\pm 3}{4}$$

   $$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{3},\ \pi$$.

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:

   $$f(0)=0$$

   $$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

   $$f(\pi)=0$$

   $$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=-2$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$, наименьшее — $$-2$$.

2. $$f(x)=2\cos x+\sin 2x,\quad x\in[0;\pi]$$

   $$f'(x)=-2\sin x+2\cos 2x$$

   Найдём стационарные точки:

   $$-2\sin x+2\cos 2x=0$$

   $$-2\sin x+2(1-2\sin^2 x)=0$$

   $$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$\sin x=\frac{-1\pm 3}{4}$$

   $$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-1$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=2$$

   $$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

   $$f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}+\sin\frac{5\pi}{3}=-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

   $$f(\pi)=-2$$

   Значит, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$, наименьшее — $$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

3. $$f(x)=3\sin x+4\cos 2x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$f'(x)=3\cos x-8\sin x\cos x=\cos x(3-16\sin x)$$

   Стационарные точки:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{3}{16}$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ это точки $$x=\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\arcsin\frac{3}{16}$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=4$$

   $$f\left(\arcsin\frac{3}{16}\right)=3\cdot\frac{3}{16}+4\left(1-2\cdot\left(\frac{3}{16}\right)^2\right)=\frac{9}{16}+4\cdot\frac{119}{128}=\frac{137}{32}$$

   $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot 1+4\cos\pi=3-4=-1$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{137}{32}$$, наименьшее — $$-1$$.

4. $$f(x)=\sin x+2\sqrt{2}\cos x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$f'(x)=\cos x-2\sqrt{2}\sin x$$

   Найдём стационарную точку:

   $$\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0$$

   $$\tan x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем

   $$x=\arctan\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=2\sqrt{2}$$

   При $$\tan x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$ имеем

   $$\sin x=\frac{1}{3},\quad \cos x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

   Тогда

   $$f(x)=\frac{1}{3}+2\sqrt{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=3$$

   $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$

   Значит, наибольшее значение равно $$3$$, наименьшее — $$1$$.

Ответ

1) $$-2$$; $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

2) $$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$; $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

3) $$-1$$; $$\frac{137}{32}$$.

4) $$1$$; $$3$$.