Упр.333 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции:

1) $$y=\frac{2}{x^2}-4$$; 2) $$y=\frac{2}{x^2}+4$$; 3) $$y=(x-1)^2(x+2)$$; 4) $$y=x(x-1)^3$$.

Подробный ответ

$$y=\frac{2}{x^2-4}$$
$$D(y):\ x\neq \pm 2$$
$$y’=\frac{-4x}{(x^2-4)^2}$$
$$y»=\frac{12x^2+16}{(x^2-4)^3}$$
Так как $$12x^2+16>0$$ при всех $$x$$, то знак $$y»$$ определяется знаком знаменателя:
$$y»>0 \text{ при } |x|>2,\qquad y»<0 \text{ при } |x|<2.$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$. Асимптоты: $$x=\pm 2$$ и $$y=0$$.
Опорные точки: $$y(0)=-\frac12,\ y(3)=\frac25.$$
$$y=\frac{2}{x^2+4}$$
$$D(y):\ x\in \mathbb{R}$$
$$y’=\frac{-4x}{(x^2+4)^2}$$
$$y»=\frac{12x^2-16}{(x^2+4)^3}$$
$$y»=0 \iff 12x^2-16=0 \iff x=\pm \frac{2}{\sqrt3}$$
Значит, $$y»<0$$ при $$|x|<\frac{2}{\sqrt3}$$ и $$y»>0$$ при $$|x|>\frac{2}{\sqrt3}$$.
Функция чётная. Асимптота: $$y=0$$.
Опорные точки: $$y(0)=\frac12,\ y(2)=\frac14.$$
$$y=(x-1)^2(x+2)$$
$$y’ = 2(x-1)(x+2)+(x-1)^2=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1)$$
$$y»=6x$$
$$y’=0 \iff x=-1 \text{ или } x=1$$
$$y»=0 \iff x=0$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1$$, убывает при $$-1<x<1$$.
Выпуклость вниз при $$x<0$$, выпуклость вверх при $$x>0$$.
Опорные точки: $$y(-2)=0,\ y(-1)=4,\ y(0)=2,\ y(1)=0.$$
$$y=x(x-1)^3$$
$$y’=(x-1)^3+3x(x-1)^2=(x-1)^2(4x-1)$$
$$y»=2(x-1)(4x-1)+4x(x-1)^2=(x-1)(8x-2+4x^2-4x)=(x-1)(4x^2+4x-2)$$
$$y»=0 \iff x=1 \text{ или } 4x^2+4x-2=0$$
$$4x^2+4x-2=0 \iff x=\frac{-1\pm \sqrt3}{2}$$
Значит, точки перегиба: $$x=\frac{-1-\sqrt3}{2},\ \frac{-1+\sqrt3}{2},\ 1.$$
Так как $$y’=(x-1)^2(4x-1)$$, то функция убывает при $$x<\frac14$$ и возрастает при $$x>\frac14$$.
Опорные точки: $$y(0)=0,\ y\!\left(\frac14\right)=-\frac{27}{256},\ y(1)=0,\ y(2)=2.$$