Упр.286 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Число $$50$$ записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые числа. Тогда

$$a+b=50, \qquad b=50-a.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$S(a)=a^3+b^3=a^3+(50-a)^3.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=3a^2-3(50-a)^2.$$

Упростим:

$$S'(a)=3\bigl(a^2-(50-a)^2\bigr)=3(2a-50)(2a-50)=300a-7500.$$

Для минимума найдём критическую точку:

$$300a-7500=0,$$

$$a=25.$$

Тогда

$$b=50-25=25.$$

Следовательно, наименьшая сумма кубов получается при равных числах.

Ответ

$$50=25+25.$$