Упр.278 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

$$y=x+\sqrt{3-x}$$
$$y’=1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=\frac{2\sqrt{3-x}-1}{2\sqrt{3-x}}$$
Критическая точка:
$$2\sqrt{3-x}-1=0$$
$$2\sqrt{3-x}=1$$
$$3-x=\frac14$$
$$x=\frac{11}{4}$$
При $$x<\frac{11}{4}$$ производная положительна, при $$x>\frac{11}{4}$$ — отрицательна. Значит, в точке $$x=\frac{11}{4}$$ функция имеет максимум.
$$y=(x-1)^{\frac67}$$
$$y’=\frac67(x-1)^{-\frac17}$$
Производная не обращается в нуль, а в точке $$x=1$$ не существует. Знак производной не меняется, поэтому экстремумов нет.
$$y=x-\sin 2x$$
$$y’=1-2\cos 2x$$
Найдём критические точки:
$$1-2\cos 2x=0$$
$$\cos 2x=\frac12$$
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$
При $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точки минимума. При $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума.
$$y=\cos 3x-4x$$
$$y’=-3\sin 3x-4$$
Так как $$\sin 3x\in[-1;1]$$, то
$$-3\sin 3x-4\in[-7;-1]$$
Следовательно, $$y'<0$$ при всех $$x$$, функция всюду убывает и экстремумов не имеет.
$$y=(x-1)^4$$
$$y’=4(x-1)^3$$
$$y’=0 \iff x=1$$
При $$x<1$$ производная отрицательна, при $$x>1$$ положительна. Значит, $$x=1$$ — точка минимума.
$$y=1-(x+1)^6$$
$$y’=-6(x+1)^5$$
$$y’=0 \iff x=-1$$
При $$x<-1$$ производная положительна, при $$x>-1$$ отрицательна. Значит, $$x=-1$$ — точка максимума.
$$y=(x+2)^2(x-3)^3$$
$$y’=2(x+2)(x-3)^3+3(x+2)^2(x-3)^2$$
$$y’=(x+2)(x-3)^2\bigl(2(x-3)+3(x+2)\bigr)$$
$$y’=(x+2)(x-3)^2\cdot 5x$$
$$y’=0 \iff x=-2,\; x=0,\; x=3$$
Так как $$(x-3)^2\ge 0$$, знак производной определяется произведением $$x(x+2)$$. Получаем: при переходе через $$x=-2$$ знак меняется с «+» на «−», а через $$x=0$$ — с «−» на «+». Точка $$x=3$$ экстремумом не является.
Значит, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
$$y=(x-5)e^x$$
$$y’=(x-5)e^x+e^x=e^x(x-4)$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x-4$$. Поэтому при $$x<4$$ функция убывает, при $$x>4$$ возрастает.
Следовательно, $$x=4$$ — точка минимума.