Упр.256 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых $$f'(x)<0$$ для всех действительных значений $$x$$, если $$f(x)=ax^3-6x^2-x$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=ax^3-6x^2-x$$

$$f'(x)=3ax^2-12x-1$$

По условию требуется, чтобы

$$3ax^2-12x-1<0$$

для всех действительных значений $$x$$. Это квадратный трёхчлен по $$x$$ должен быть отрицательным при любых $$x$$. Для этого необходимо, чтобы его старший коэффициент был отрицательным и дискриминант был меньше нуля:

$$3a<0,$$

$$D=(-12)^2-4\cdot 3a\cdot(-1)=144+12a<0.$$

Из первого неравенства получаем:

$$a<0.$$

Из второго:

$$144+12a<0$$

$$12a<-144$$

$$a<-12.$$

Совмещая условия, получаем:

$$a<-12.$$

Ответ

$$(-\infty;\,-12)$$