Упр.243 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$, если:
   
   1) $$f(x)=\cos x\sin x$$, $$x_0=\frac{\pi}{6}$$;
   
   2) $$f(x)=e^x\ln x$$, $$x_0=1$$;
   
   3) $$f(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   
   4) $$f(x)=\frac{x}{1+e^x}$$, $$x_0=0$$.

1. $$f(x)=\cos x\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(\cos x)’\sin x+\cos x(\sin x)’=-\sin x\sin x+\cos x\cos x=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

   Тогда

   $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

2. $$f(x)=e^x\ln x,\quad x_0=1.$$

   По правилу произведения:

   $$f'(x)=(e^x)’\ln x+e^x(\ln x)’=e^x\ln x+e^x\cdot\frac1x.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$f'(1)=e\ln 1+e\cdot 1=e\cdot 0+e=e.$$

3. $$f(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}=2\ctg x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=2(\ctg x)’=2\left(-\frac1{\sin^2 x}\right)=-\frac{2}{\sin^2 x}.$$

   Следовательно,

   $$f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-\frac{2}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-\frac{2}{\frac12}=-4.$$

4. $$f(x)=\frac{x}{1+e^x},\quad x_0=0.$$

   По правилу производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(1+e^x)\cdot 1-x\cdot e^x}{(1+e^x)^2}.$$

   Подставим $$x=0$$:

   $$f'(0)=\frac{(1+e^0)-0\cdot e^0}{(1+e^0)^2}=\frac{1+1}{(1+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$e$$; 3) $$-4$$; 4) $$\frac12$$.