Упр.235 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:

1. $$f(x)=e^{\sin 2x+\sin x},\quad x_0=\pi$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2},\quad x_0=1$$.

1. $$f(x)=e^{\sin^2 x+\sin x}, \quad x_0=\pi.$$

   Найдём значение функции и производной в точке $$x_0=\pi$$:

   $$f(\pi)=e^{\sin^2 \pi+\sin \pi}=e^{0+0}=1.$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$f'(x)=e^{\sin^2 x+\sin x}\cdot(2\sin x\cos x+\cos x).$$

   Тогда

   $$f'(\pi)=e^{0}\cdot(2\cdot 0\cdot (-1)+(-1))=-1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(\pi)+f'(\pi)(x-\pi)=1-1\cdot(x-\pi)=\pi+1-x.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}, \quad x_0=1.$$

   Найдём значение функции в точке $$x_0=1$$:

   $$f(1)=\frac{1}{1^2}\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\frac{1}{x^2}\right)’\sin\frac{\pi x^2}{2}+\frac{1}{x^2}\left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)’$$

   $$f'(x)=-\frac{2}{x^3}\sin\frac{\pi x^2}{2}+\frac{1}{x^2}\cdot\cos\frac{\pi x^2}{2}\cdot \pi x.$$

   Упростим:

   $$f'(x)=-\frac{2}{x^3}\sin\frac{\pi x^2}{2}+\frac{\pi}{x}\cos\frac{\pi x^2}{2}.$$

   Тогда

   $$f'(1)=-2\sin\frac{\pi}{2}+\pi\cos\frac{\pi}{2}=-2\cdot 1+\pi\cdot 0=-2.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(1)+f'(1)(x-1)=1-2(x-1)=3-2x.$$

Ответ

1) $$y=\pi+1-x$$; 2) $$y=3-2x$$.