Упр.232 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти точки графика функции $$y=f(x)$$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $$y=kx$$, если:
1) $$f(x)=x^2-3x+4$$, $$k=1$$;
2) $$f(x)=x(x+1)$$, $$k=3$$;
3) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-2x$$, $$k=1$$;
4) $$f(x)=e^x+e^{-x}$$, $$k=\frac{3}{2}$$;
5) $$f(x)=\sqrt{3x+1}$$, $$k=\frac{3}{4}$$;
6) $$f(x)=x+\sin x$$, $$k=0$$.
Если касательная параллельна прямой $$y=kx$$, то её угловой коэффициент равен $$k$$, значит нужно решить уравнение $$f'(x)=k$$ и затем найти соответствующую ординату точки графика.
1) $$f(x)=x^2-3x+4,\quad k=1$$
$$f'(x)=2x-3$$
$$2x-3=1$$
$$2x=4,\quad x=2$$
$$y=f(2)=2^2-3\cdot 2+4=2$$Точка: $$\left(2;2\right)$$.
2) $$f(x)=x(x+1),\quad k=3$$
$$f'(x)=2x+1$$
$$2x+1=3$$
$$2x=2,\quad x=1$$
$$y=f(1)=1\cdot(1+1)=2$$Точка: $$\left(1;2\right)$$.
3) $$f(x)=\frac13x^3+x^2-2x,\quad k=1$$
$$f'(x)=x^2+2x-2$$
$$x^2+2x-2=1$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$(x+3)(x-1)=0$$
$$x=-3 \text{ или } x=1$$$$y=f(-3)=\frac13(-3)^3+(-3)^2-2(-3)=-9+9+6=6$$
$$y=f(1)=\frac13+1-2=-\frac23$$Точки: $$\left(-3;6\right)$$ и $$\left(1;-\frac23\right)$$.
4) $$f(x)=e^x+e^{-x},\quad k=\frac32$$
$$f'(x)=e^x-e^{-x}$$
$$e^x-e^{-x}=\frac32$$
$$2e^{2x}-3e^x-2=0$$Обозначим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$2t^2-3t-2=0$$
$$(2t+1)(t-2)=0$$
$$t=2$$$$e^x=2,\quad x=\ln 2$$
$$y=f(\ln 2)=e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}=2+\frac12=\frac52$$Точка: $$\left(\ln 2;\frac52\right)$$.
5) $$f(x)=\sqrt{3x+1},\quad k=\frac34$$
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$$
$$\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac34$$
$$2\sqrt{3x+1}=4$$
$$\sqrt{3x+1}=2$$
$$3x+1=4,\quad x=1$$
$$y=f(1)=\sqrt{4}=2$$Точка: $$\left(1;2\right)$$.
6) $$f(x)=x+\sin x,\quad k=0$$
$$f'(x)=1+\cos x$$
$$1+\cos x=0$$
$$\cos x=-1$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$$$y=f(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi n+\sin(\pi+2\pi n)=\pi+2\pi n$$
Точки: $$\left(\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.
Ответ
1) $$\left(2;2\right)$$; 2) $$\left(1;2\right)$$; 3) $$\left(-3;6\right)$$, $$\left(1;-\frac23\right)$$; 4) $$\left(\ln 2;\frac52\right)$$; 5) $$\left(1;2\right)$$; 6) $$\left(\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.
