Упр.231 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке — общую касательную; написать уравнение этой касательной:

$$y=x^4$$, $$y=x^6+2x^2$$;
$$y=x^4$$, $$y=x^3-3x^2$$;
$$y=(x+2)^2$$, $$y=2-x^2$$;
$$y=x(2+x)$$, $$y=x(2-x)$$;
$$y=\sqrt{x+1}$$, $$y=x^2+\frac{1}{3}x+1$$;
$$y=\sqrt{x+1}$$, $$y=2-\sqrt{1-x}$$.

Подробный ответ

$$y=x^4,\quad y=x^6+2x^2$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^6+2x^2$$
$$x^6-x^4+2x^2=0$$
$$x^2(x^4-x^2+2)=0$$
Отсюда $$x=0$$.
Точка касания: $$y(0)=0$$, значит $$(0,0)$$.
Производные:
$$y’=4x^3,\quad y’=6x^5+4x$$
В точке $$x=0$$ имеем $$y'(0)=0$$ для обеих функций, поэтому касательная:
$$y=0$$
$$y=x^4,\quad y=x^3-3x^2$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^3-3x^2$$
$$x^4-x^3+3x^2=0$$
$$x^2(x^2-x+3)=0$$
Отсюда $$x=0$$.
Точка касания: $$(0,0)$$.
Производные:
$$y’=4x^3,\quad y’=3x^2-6x$$
В точке $$x=0$$:
$$y'(0)=0$$ и $$y'(0)=0$$.
Касательная:
$$y=0$$
$$y=(x+2)^2,\quad y=2-x^2$$
Найдём общую точку:
$$(x+2)^2=2-x^2$$
$$x^2+4x+4=2-x^2$$
$$2x^2+4x+2=0$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$(x+1)^2=0,\quad x=-1$$
Точка касания: $$y(-1)=1$$, значит $$(-1,1)$$.
Производные:
$$y’=2(x+2),\quad y’=-2x$$
В точке $$x=-1$$:
$$y'(-1)=2,\quad y'(-1)=2$$
Уравнение касательной:
$$y-1=2(x+1)$$
$$y=2x+3$$
$$y=x(2+x),\quad y=x(2-x)$$
Найдём общую точку:
$$x(2+x)=x(2-x)$$
$$2x+x^2=2x-x^2$$
$$2x^2=0,\quad x=0$$
Точка касания: $$(0,0)$$.
Производные:
$$y’=2+2x,\quad y’=2-2x$$
В точке $$x=0$$:
$$y'(0)=2,\quad y'(0)=2$$
Касательная:
$$y=2x$$
$$y=\sqrt{x+1},\quad y=x^2+\frac12x+1$$
Найдём общую точку:
$$\sqrt{x+1}=x^2+\frac12x+1$$
После возведения в квадрат получаем:
$$x=0$$
Точка касания: $$(0,1)$$.
Производные:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}},\quad y’=2x+\frac12$$
В точке $$x=0$$:
$$y'(0)=\frac12,\quad y'(0)=\frac12$$
Касательная:
$$y-1=\frac12(x-0)$$
$$y=\frac12x+1$$
$$y=\sqrt{x+1},\quad y=2-\sqrt{1-x}$$
Найдём общую точку:
$$\sqrt{x+1}=2-\sqrt{1-x}$$
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2$$
После преобразований получаем:
$$x=0$$
Точка касания: $$(0,1)$$.
Производные:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}},\quad y’=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$
В точке $$x=0$$:
$$y'(0)=\frac12,\quad y'(0)=\frac12$$
Касательная:
$$y-1=\frac12(x-0)$$
$$y=\frac12x+1$$