Упр.209 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно 0, если:
1) $$f(x)=x-\cos x$$;
2) $$f(x)=\frac{1}{2}x-\sin x$$;
3) $$f(x)=\ln(x+1)-2x$$;
4) $$f(x)=2\ln(x+3)-x$$;
5) $$f(x)=2^x+2^{-x}$$;
6) $$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$;
7) $$f(x)=2\ln(x+3)-x$$;
8) $$f(x)=x+\ln(2x+1)$$.
$$f(x)=x-\cos x$$
$$f'(x)=1+\sin x$$
$$1+\sin x=0$$
$$\sin x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$f(x)=\frac12 x-\sin x$$
$$f'(x)=\frac12-\cos x$$
$$\frac12-\cos x=0$$
$$\cos x=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$f(x)=\ln(x+1)-2x$$
Область определения: $$x>-1$$.
$$f'(x)=\frac{1}{x+1}-2$$
$$\frac{1}{x+1}-2=0$$
$$\frac{1}{x+1}=2$$
$$x+1=\frac12$$
$$x=-\frac12$$
$$f(x)=2\ln(x+3)-x$$
Область определения: $$x>-3$$.
$$f'(x)=\frac{2}{x+3}-1$$
$$\frac{2}{x+3}-1=0$$
$$\frac{2}{x+3}=1$$
$$x+3=2$$
$$x=-1$$
$$f(x)=2^x+2^{-x}$$
$$f'(x)=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2$$
$$2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=0$$
$$\ln 2\,(2^x-2^{-x})=0$$
$$2^x-2^{-x}=0$$
$$2^x=2^{-x}$$
$$x=0$$
$$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$
$$f'(x)=2\cdot 3^{2x}\ln 3-2\ln 3$$
$$2\ln 3\,(3^{2x}-1)=0$$
$$3^{2x}-1=0$$
$$3^{2x}=1$$
$$3^{2x}=3^0$$
$$2x=0$$
$$x=0$$
$$f(x)=2\ln(x+3)-x$$
Область определения: $$x>-3$$.
$$f'(x)=\frac{2}{x+3}-1$$
$$\frac{2}{x+3}-1=0$$
$$\frac{2}{x+3}=1$$
$$x+3=2$$
$$x=-1$$
$$f(x)=x+\ln(2x+1)$$
Область определения: $$2x+1>0$$, то есть $$x>-\frac12$$.
$$f'(x)=1+\frac{2}{2x+1}$$
$$1+\frac{2}{2x+1}=0$$
$$\frac{2x+1+2}{2x+1}=0$$
$$2x+3=0$$
$$x=-\frac32$$
Но $$-\frac32<-\frac12$$, значит это значение не принадлежит области определения.
Следовательно, производная не обращается в нуль ни при каком допустимом $$x$$.
Ответ
1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 2) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) $$x=-\frac12$$; 4) $$x=-1$$; 5) $$x=0$$; 6) $$x=0$$; 7) $$x=-1$$; 8) таких значений нет.
