Упр.146 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{3-x+x^3}{2+2x-x^2}$$;
2. $$\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}$$;
3. $$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+4x+7}{6x^2-x+5}$$;
4. $$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$$;
5. $$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3x^2+4x+7}}{x}$$;
6. $$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+3x+3}-\sqrt{x^3-x+1}\right)$$.

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{3-x+x^3}{2+2x-x^2}=\frac{3-0+0}{2+0-0}=\frac{3}{2}.$$

2. $$\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}=\lim_{x\to 6}\frac{(\sqrt{x-2}-2)(\sqrt{x-2}+2)}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}$$
   $$=\lim_{x\to 6}\frac{x-2-4}{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}=\lim_{x\to 6}\frac{1}{\sqrt{x-2}+2}=\frac{1}{\sqrt{6-2}+2}=\frac{1}{4}.$$

3. $$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+4x+7}{6x^2-x+5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}{6-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

4. $$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{1+2x}-3)(\sqrt{1+2x}+3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}$$
   $$=\lim_{x\to 4}\frac{1+2x-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x\to 4}\frac{2x-8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}$$
   $$=\lim_{x\to 4}\frac{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x\to 4}\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}$$
   $$=\frac{2(2+2)}{\sqrt{1+8}+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

5. $$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3x^2+4x+7}}{x}=\lim_{x\to\infty}\sqrt{3+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}=\sqrt{3}.$$

6. $$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2-x+1}\right)$$
   $$=\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2+2x+3)-(x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+1}}$$
   $$=\lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+1}}$$
   $$=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{3}{2}$$; 2) $$\frac{1}{4}$$; 3) $$\frac{1}{2}$$; 4) $$\frac{4}{3}$$; 5) $$\sqrt{3}$$; 6) $$\frac{3}{2}$$.