Упр.94 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство: 1) $$\operatorname{tg} 2x < 1$$; 2) $$\operatorname{tg} 2x \geq 3$$; 3) $$3\sin 2x+\sin x\cos x>2$$.

1. $$\tg^2 x<1$$

   $$\tg^2 x-1<0$$

   $$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+1\right)<0$$

   Отсюда

   $$-1<\tg x<1.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg^2 x\ge 3$$

   $$\tg^2 x-3\ge 0$$

   $$\left(\tg x-\sqrt3\right)\left(\tg x+\sqrt3\right)\ge 0$$

   Следовательно,

   $$\tg x\le -\sqrt3 \quad \text{или} \quad \tg x\ge \sqrt3.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$3\sin^2 x+\sin x\cos x>2$$

   $$3\sin^2 x+\sin x\cos x>2\sin^2 x+2\cos^2 x$$

   $$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x>0$$

   При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x+\tg x-2>0$$

   $$\left(\tg x+2\right)\left(\tg x-1\right)>0$$

   Отсюда

   $$\tg x<-2 \quad \text{или} \quad \tg x>1.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Кроме того, при $$\cos x=0$$ имеем $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, и это также удовлетворяет неравенству.

   Значит, решение можно записать так:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad \frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 2+\pi n,\quad \frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$