Упр.90 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти множество значений функции $$y=\operatorname{tg}x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку:

1) $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$;

2) $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$;

3) $$\left(0;\pi\right)$$;

4) $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$.

Подробный ответ

При $$x \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\tg x$$ возрастает, значит множество значений найдём по значениям на концах промежутка:
$$\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$E(y)=\left[-1;\sqrt{3}\right].$$
При $$x \in \left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right)$$ промежуток разбивается точкой разрыва $$x=\frac{\pi}{2}$$. На каждом из промежутков функция $$y=\tg x$$ возрастает.
При $$x \to \frac{3\pi}{4}+0$$ имеем $$\tg x \to -1,$$ а при $$x \to \frac{\pi}{2}-0$$ значение $$\tg x \to +\infty.$$
Значит,
$$E(y)=(-1;+\infty).$$
При $$x \in (0;\pi)$$ функция $$y=\tg x$$ принимает все значения, кроме тех, которые соответствуют точке разрыва $$x=\frac{\pi}{2}$$. При этом
$$\tg 0=0,\qquad \tg \pi=0,$$
а на промежутках $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ значения функции пробегают все числа от $$0$$ до $$+\infty$$ и от $$-\infty$$ до $$0$$.
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
При $$x \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$$ точка $$x=\frac{\pi}{2}$$ не входит в промежуток, но является точкой разрыва функции.
На отрезках $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция возрастает, причём
$$\tg\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1.$$
Поэтому
$$E(y)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$