Упр.87 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все принадлежащие промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ корни уравнения:
   1) $$\operatorname{tg} 2x=\sqrt{3}$$;
   2) $$\operatorname{tg}\frac{x}{3}=-1$$;
   3) $$\operatorname{ctg}\frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$;
   4) $$\operatorname{ctg}3x=1$$.

1. $$\tg 2x=\sqrt{3}$$
   
   Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$
   Отбираем значения из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$:
   $$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{2\pi}{3}$$
2. $$\tg \frac{x}{3}=-1$$
   
   Тогда
   $$\frac{x}{3}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=-\frac{3\pi}{4}+3\pi n$$
   Проверяем промежуток $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$: таких значений нет.
3. $$\ctg \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$
   
   Тогда
   $$\frac{x}{2}=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$
   В промежуток $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ такие значения не попадают.
4. $$\ctg 3x=1$$
   
   Тогда
   $$3x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$
   Отбираем корни из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$:
   $$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{3\pi}{4}$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{2\pi}{3}$$; 2) корней нет; 3) корней нет; 4) $$-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{3\pi}{4}$$.