Упр.67 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить графически уравнение:

1. $$\sin x=\frac{2}{3\pi}x-\frac{2}{3}$$;
2. $$\sin x=2-\frac{2}{\pi}x$$;
3. $$-\sin x=\sqrt{x}$$;
4. $$\sin x=\cos x$$.

1. $$\sin x=\frac{2}{3\pi}x-\frac{2}{3}$$

   Рассматриваем точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=\frac{2}{3\pi}x-\frac{2}{3}$$. По графику получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2}.$$

2. $$\sin x=2-\frac{2}{\pi}x$$

   Ищем точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=2-\frac{2}{\pi}x$$. Получаем:

   $$x=\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}.$$

3. $$-\sin x=\sqrt{x}$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, а $$-\sin x\le 1$$, то для равенства нужно, чтобы обе части были равны нулю. Тогда

   $$x=0.$$

4. $$\sin x=\cos x$$

   Перенесём в одну сторону:

   $$\sin x-\cos x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$, где это возможно:

   $$\tan x=1.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2}$$; 2) $$x=\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.