Упр.60 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Построив график функции $$y=f(x)$$, найти:

   а) область определения функции;

   б) множество значений;

   в) промежутки убывания:

   1) $$f(x)=\begin{cases}\sin x, & 0\leqslant x\leqslant 3\pi,\\ \sqrt{-x}, & x<0;\end{cases}$$

   1) $$f(x)=\begin{cases}\sin x, & \dfrac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant 2\pi,\\ \cos x, & -2\pi

1. 1) $$f(x)=\begin{cases}\sin x, & 0\le x\le 3\pi,\\ \sqrt{-x}, & x<0.\end{cases}$$

   Область определения состоит из двух частей: $$x<0$$ и $$0\le x\le 3\pi.$$ Значит,

   $$D(f)=(-\infty;3\pi].$$

   При $$x<0$$ имеем $$\sqrt{-x}\ge 0,$$ а при $$0\le x\le 3\pi$$ функция $$\sin x$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1.$$ Поэтому

   $$E(f)=[-1;+\infty).$$

   Функция $$\sqrt{-x}$$ убывает на $$(-\infty;0],$$ а $$\sin x$$ убывает на промежутках $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ и $$\left[\frac{5\pi}{2};3\pi\right].$$

   Следовательно, промежутки убывания:

   $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{2};3\pi\right].$$

2. 2) $$f(x)=\begin{cases}\sin x, & \frac{\pi}{4}\le x\le 2\pi,\\ \cos x, & -2\pi\le x<\frac{\pi}{4}.\end{cases}$$

   Область определения:

   $$D(f)=[-2\pi;2\pi].$$

   Обе функции $$\sin x$$ и $$\cos x$$ принимают значения от $$-1$$ до $$1,$$ значит

   $$E(f)=[-1;1].$$

   На промежутке $$[-2\pi;\frac{\pi}{4})$$ функция $$\cos x$$ убывает на $$[-2\pi;-\pi]$$ и $$[0;\frac{\pi}{4}),$$ а функция $$\sin x$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right].$$

   Итак, промежутки убывания:

   $$[-2\pi;-\pi]\cup\left[0;\frac{\pi}{4}\right)\cup\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

Ответ

1) $$D(f)=(-\infty;3\pi],\quad E(f)=[-1;+\infty),\quad \text{убывает на }(-\infty;0]\cup\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{2};3\pi\right].$$

2) $$D(f)=[-2\pi;2\pi],\quad E(f)=[-1;1],\quad \text{убывает на }[-2\pi;-\pi]\cup\left[0;\frac{\pi}{4}\right)\cup\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$