Упр.37 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Построив график функции $$y=f(x)$$, найти:
   а) область определения функции;
   б) множество значений;
   в) промежутки возрастания:
   1) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & 0\leqslant x\leqslant 2\pi,\\ x^2, & x<0;\end{cases}$$
   2) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & -3\pi\leqslant x<-\frac{\pi}{2},\\ \frac{2x}{\pi}+1, & x\geqslant-\frac{\pi}{2}.\end{cases}$$

1. 1) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & 0\le x\le 2\pi,\\ x^2, & x<0.\end{cases}$$

   Область определения состоит из всех чисел, при которых задана хотя бы одна из частей функции:

   $$D(f)=(-\infty;2\pi].$$

   На промежутке $$x<0$$ имеем $$y=x^2>0$$, а на $$[0;2\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1$$. Поэтому

   $$E(f)=[-1;+\infty).$$

   Функция возрастает при $$x<0$$ на луче $$(-\infty;0)$$, а на отрезке $$[0;2\pi]$$ функция $$\cos x$$ возрастает на $$[\pi;2\pi]$$. Значит,

   $$(-\infty;0)\cup[\pi;2\pi].$$

2. 2) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & -3\pi\le x<-\dfrac{\pi}{2},\\ \dfrac{2x}{\pi}+1, & x\ge -\dfrac{\pi}{2}.\end{cases}$$

   Область определения:

   $$D(f)=[-3\pi;+\infty).$$

   На отрезке $$[-3\pi;-\dfrac{\pi}{2})$$ функция $$\cos x$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1$$, а линейная функция $$\dfrac{2x}{\pi}+1$$ при $$x\ge -\dfrac{\pi}{2}$$ принимает все значения от $$0$$ и выше. Следовательно,

   $$E(f)=[-1;+\infty).$$

   Функция $$\cos x$$ возрастает на промежутках $$[-3\pi;-2\pi]$$ и $$[-\pi;-\dfrac{\pi}{2})$$, а функция $$\dfrac{2x}{\pi}+1$$ возрастает при всех $$x\ge -\dfrac{\pi}{2}$$. Поэтому

   $$[-3\pi;-2\pi]\cup[-\pi;+\infty).$$

Ответ

1. $$D(f)=(-\infty;2\pi],\quad E(f)=[-1;+\infty),\quad \text{возрастает на }(-\infty;0)\cup[\pi;2\pi].$$

2. $$D(f)=[-3\pi;+\infty),\quad E(f)=[-1;+\infty),\quad \text{возрастает на }[-3\pi;-2\pi]\cup[-\pi;+\infty).$$