Упр.24 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

График функции $$y=f(x)$$, $$x\in\mathbb{R}$$, симметричен относительно каждой из прямых $$x=a$$, $$x=b$$, где $$a\ne b$$. Доказать, что $$y=f(x)$$ является периодической, и найти её период.

Так как график функции симметричен относительно прямой $$x=a,$$ то для любого $$x$$ выполняется

$$f(x)=f(2a-x).$$

Аналогично, из симметрии относительно прямой $$x=b$$ получаем

$$f(x)=f(2b-x).$$

Пусть $$T=2|b-a|.$$ Докажем, что это период функции.

Если $$b>a,$$ то $$T=2(b-a).$$ Тогда

$$f(x+T)=f\bigl(x+2(b-a)\bigr)=f(2b-x)=f(x).$$

Если $$a>b,$$ то $$T=2(a-b).$$ Тогда

$$f(x+T)=f\bigl(x+2(a-b)\bigr)=f(2a-x)=f(x).$$

Следовательно, функция периодическая, а её период равен $$2|b-a|.$$

Ответ

$$T=2|b-a|.$$