Упр.13 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sin x+x$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\sin(-x)+(-x)=-\sin x-x=-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-x^2$$

   Так как $$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x,$$ то

   $$y=\sin x-x^2.$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\sin(-x)-(-x)^2=-\sin x-x^2.$$

   Это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$ Значит, функция ни чётная, ни нечётная.

3. $$y=3-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin(\pi-x)$$

   Используем формулы:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.$$

   Тогда

   $$y=3-(-\sin x)\sin x=3+\sin^2 x.$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=3+\sin^2(-x)=3+\sin^2 x=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. $$y=\frac12\cos 2x\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)+3$$

   Так как $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=-\cos 2x,$$ то

   $$y=\frac12\cos 2x\cdot(-\cos 2x)+3=3-\frac12\cos^2 2x.$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=3-\frac12\cos^2(-2x)=3-\frac12\cos^2 2x=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

5. $$y=x^2+\frac{1+\cos x}{2}$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=(-x)^2+\frac{1+\cos(-x)}{2}=x^2+\frac{1+\cos x}{2}=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ

1) нечётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) чётная; 4) чётная; 5) чётная.