Упр.101 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Найти область определения функции:
- $$y=\arcsin x-\frac{3}{2}$$;
- $$y=\arccos(2-3x)$$;
- $$y=\arccos(2\sqrt{x}-3)$$;
- $$y=\arcsin 2x^2-\frac{5}{3}$$;
- $$y=\arccos 2-\frac{\sqrt{x}}{3}$$;
- $$y=\arcsin(3\sqrt{x}-2)$$;
- $$y=\arcsin(x^2-2)$$;
- $$y=\arccos(x^2-x)$$.
$$y=\arcsin\frac{x-3}{2}$$
Для существования арксинуса нужно:
$$-1\le \frac{x-3}{2}\le 1$$
$$-2\le x-3\le 2$$
$$1\le x\le 5$$
$$D(x)=[1;5].$$
$$y=\arccos(2-3x)$$
Для существования арккосинуса нужно:
$$-1\le 2-3x\le 1$$
$$-3\le -3x\le -1$$
$$1\le 3x\le 3$$
$$\frac13\le x\le 1$$
$$D(x)=\left[\frac13;1\right].$$
$$y=\arccos(2\sqrt{x}-3)$$
Требуется:
$$-1\le 2\sqrt{x}-3\le 1$$
$$2\le 2\sqrt{x}\le 4$$
$$1\le \sqrt{x}\le 2$$
$$1\le x\le 4$$
$$D(x)=[1;4].$$
$$y=\arcsin\frac{2x^2-5}{3}$$
Требуется:
$$-1\le \frac{2x^2-5}{3}\le 1$$
$$-3\le 2x^2-5\le 3$$
$$2\le 2x^2\le 8$$
$$1\le x^2\le 4$$
$$x\in[-2;-1]\cup[1;2].$$
$$y=\arccos\frac{2-\sqrt{x}}{3}$$
Требуется:
$$-1\le \frac{2-\sqrt{x}}{3}\le 1$$
$$-3\le 2-\sqrt{x}\le 3$$
$$-5\le -\sqrt{x}\le 1$$
$$-1\le \sqrt{x}\le 5$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ получаем:
$$0\le x\le 25.$$
$$D(x)=[0;25].$$
$$y=\arcsin(3\sqrt{x}-2)$$
Требуется:
$$-1\le 3\sqrt{x}-2\le 1$$
$$1\le 3\sqrt{x}\le 3$$
$$\frac13\le \sqrt{x}\le 1$$
$$\frac19\le x\le 1$$
$$D(x)=\left[\frac19;1\right].$$
$$y=\arcsin(x^2-2)$$
Требуется:
$$-1\le x^2-2\le 1$$
$$1\le x^2\le 3$$
$$x\in[-\sqrt3;-1]\cup[1;\sqrt3].$$
$$y=\arccos(x^2-x)$$
Требуется:
$$-1\le x^2-x\le 1$$
Достаточно решить неравенство
$$x^2-x-1\le 0.$$
Найдём корни уравнения:
$$x^2-x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt5}{2}$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$D(x)=\left[\frac{1-\sqrt5}{2};\frac{1+\sqrt5}{2}\right].$$
Ответ
1) $$[1;5]$$; 2) $$\left[\frac13;1\right]$$; 3) $$[1;4]$$; 4) $$[-2;-1]\cup[1;2]$$; 5) $$[0;25]$$; 6) $$\left[\frac19;1\right]$$; 7) $$[-\sqrt3;-1]\cup[1;\sqrt3]$$; 8) $$\left[\frac{1-\sqrt5}{2};\frac{1+\sqrt5}{2}\right].$$
