Упр.14 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Опыт страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Сколько договоров необходимо заключить, чтобы с вероятностью $$0{,}9$$ можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от $$0{,}2$$ не более чем на $$0{,}05$$?

Подробный ответ

Пусть $$p=0{,}2$$ — вероятность страхового случая по одному договору, тогда $$q=1-p=0{,}8$$.

По неравенству Чебышёва для доли получаем:

$$P\left(|\nu-p|\le \varepsilon\right)\ge 1-\frac{pq}{N\varepsilon^2},$$

где $$\nu$$ — доля страховых случаев, $$\varepsilon=0{,}05$$, $$N$$ — число договоров.

Требуется, чтобы с вероятностью не менее $$0{,}9$$ выполнялось:

$$1-\frac{0{,}2\cdot 0{,}8}{N\cdot 0{,}05^2}\ge 0{,}9.$$

Решим неравенство:

$$1-\frac{0{,}16}{N\cdot 0{,}0025}\ge 0{,}9$$

$$\frac{0{,}16}{0{,}0025N}\le 0{,}1$$

$$\frac{0{,}16}{0{,}00025}\le N$$

$$640\le N.$$