Упр.7 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Случайная величина $$X$$ имеет математическое ожидание $$E(X)=1$$ и дисперсию $$D(X)=0.04$$. Оцените вероятность события $$X>1{,}5$$. Сравните полученный результат с результатом упражнения 1 и объясните разницу.

Найдём среднеквадратичное отклонение:

$$\sigma=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0{,}04}=0{,}2.$$

Тогда

$$P(X>1{,}5)=P\bigl(X-E(X)>0{,}5\bigr)\le P\bigl(|X-E(X)|\ge 0{,}5\bigr).$$

По неравенству Чебышёва:

$$P\bigl(|X-E(X)|\ge 0{,}5\bigr)\le \frac{D(X)}{0{,}5^2}=\frac{0{,}04}{0{,}25}=0{,}16.$$

Значит,

$$P(X>1{,}5)\le 0{,}16.$$

В упражнении 1 оценка была более грубой, а здесь она лучше, потому что дисперсия мала: значения случайной величины сильно сосредоточены около математического ожидания.

Ответ

$$P(X>1{,}5)\le 0{,}16.$$