Проверь себя 8 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2. Найти производную функции:
   
   1) $$\frac{3}{x}+2\sqrt{x}-e^x$$;
   
   2) $$(3x-5)^4$$;
   
   3) $$3\sin 2x\cos x$$;
   
   4) $$\frac{x^3}{x^2+5}$$.
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=\cos 3x$$ в точке с абсциссой $$x_0=\frac{\pi}{6}$$.
4. Найти угол между касательной к графику функции $$y=x^4-2x^3+3$$ в точке с абсциссой $$x_0=\frac{1}{2}$$ и осью $$Ox$$.

1) $$f(x)=3x^3+4x-1$$

Найдём производную:

$$f'(x)=9x^2+4.$$

Тогда

$$f'(3)=9\cdot 3^2+4=81+4=85.$$

Ход решения

2) Найдём производные функций.

1. $$\left(\frac{3}{x}+2\sqrt{x}-e^x\right)’=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-e^x.$$

2. $$\bigl((3x-5)^4\bigr)’=4(3x-5)^3\cdot 3=12(3x-5)^3.$$

3. $$\bigl(3\sin 2x\cos x\bigr)’=3\bigl((\sin 2x)’\cos x+\sin 2x\cdot(\cos x)’\bigr).$$

   $$=3\bigl(2\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\bigr)=6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x.$$

4. $$\left(\frac{x^3}{x^2+5}\right)’=\frac{3x^2(x^2+5)-x^3\cdot 2x}{(x^2+5)^2}.$$

   $$=\frac{3x^4+15x^2-2x^4}{(x^2+5)^2}=\frac{x^4+15x^2}{(x^2+5)^2}=\frac{x^2(x^2+15)}{(x^2+5)^2}.$$

3) Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x_0=\frac{\pi}{6}$$.

$$y=\cos 3x,\qquad y’=-3\sin 3x.$$

$$k=y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=-3\sin\frac{\pi}{2}=-3.$$

4) Для функции $$y=x^4-2x^3+3$$ найдём производную:

$$y’=4x^3-6x^2.$$

В точке $$x_0=\frac12$$:

$$k=y’\left(\frac12\right)=4\cdot\left(\frac12\right)^3-6\cdot\left(\frac12\right)^2=\frac12-\frac32=-1.$$

Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ удовлетворяет равенству $$\tan\alpha=k$$, значит

$$\tan\alpha=-1.$$

Берём угол между прямой и осью $$Ox$$ как острый, тогда

$$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

1) $$85$$;

2) $$-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-e^x,\quad 12(3x-5)^3,\quad 6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x,\quad \frac{x^2(x^2+15)}{(x^2+5)^2}$$;

3) $$-3$$;

4) $$\frac{3\pi}{4}$$.