Проверь себя 3 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Сравнить числа:

1) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{0,2}$$ и $$\left(\frac{1}{5}\right)^{1,2}$$;

2) $$5^{-0,2}$$ и $$5^{-1,2}$$.
Решить уравнение:

1) $$3x+1=27x-1$$;

2) $$0,2x^2+4x-5=1$$;

3) $$2x+3-2x+1=12$$;

4) $$4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+1=0$$.
Решить неравенство:

1) $$7x-2>49$$;

2) $$0,5x^2-2\geq\frac{1}{4}$$.

Подробный ответ

1) Для функции $$y=\left(\frac15\right)^x$$ основание меньше $$1$$, значит график убывает. Он проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и при $$x\to +\infty$$ стремится к $$0$$.

Для функции $$y=5^x$$ основание больше $$1$$, значит график возрастает. Он также проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и при $$x\to -\infty$$ стремится к $$0$$.

2) Сравним числа:

1) Так как $$\frac15<1$$, функция $$y=\left(\frac15\right)^x$$ убывает, поэтому при $$0{,}2<1{,}2$$ имеем

$$\left(\frac15\right)^{0{,}2} > \left(\frac15\right)^{1{,}2}.$$

2) Так как $$5>1$$, функция $$y=5^x$$ возрастает, а при $$-0{,}2>-1{,}2$$ получаем

$$5^{-0{,}2} > 5^{-1{,}2}.$$

3) Решим уравнения:

$$3^{x+1}=27^{x-1}$$
$$27=3^3,\quad 3^{x+1}=3^{3(x-1)}$$
$$x+1=3x-3$$
$$2x=4,\quad x=2.$$
$$0{,}2^{x^2+4x-5}=1$$
Так как $$0{,}2\neq 1$$, то показатель равен нулю:
$$x^2+4x-5=0$$
$$D=16+20=36$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-5.$$
$$2^{x+3}-2^{x+1}=12$$
$$2^{x+1}(2^2-1)=12$$
$$3\cdot 2^{x+1}=12$$
$$2^{x+1}=4=2^2$$
$$x+1=2,\quad x=1.$$
$$4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+1=0$$
Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$4t^2-5t+1=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8}$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac14.$$
Тогда
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=\frac14=2^{-2} \Rightarrow x=-2.$$

4) Решим неравенства:

$$7^{x-2}>49$$
$$49=7^2,\quad 7^{x-2}>7^2$$
Так как основание $$7>1$$, сравниваем показатели:
$$x-2>2,\quad x>4.$$
$$0{,}5^{x^2-2}\ge \frac14$$
$$0{,}5=\frac12,\quad \frac14=\left(\frac12\right)^2$$
Тогда
$$\left(\frac12\right)^{x^2-2}\ge \left(\frac12\right)^2.$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$x^2-2\le 2$$
$$x^2\le 4$$
$$-2\le x\le 2.$$