Упр.988 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти одну из первообразных функции:
1) $$2x^5-3x^2$$;
2) $$5x^4+2x^3$$;
3) $$\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}$$;
4) $$\frac{2}{x^3}-\frac{3}{x}$$;
5) $$6x^2-4x+3$$;
6) $$4\sqrt[3]{x}-6\sqrt{x}$$.
1) $$f(x)=2x^5-3x^2$$
Тогда одна из первообразных:
$$F(x)=\frac{2x^6}{6}-\frac{3x^3}{3}=\frac{x^6}{3}-x^3+C$$
2) $$f(x)=5x^4+2x^3$$
Тогда одна из первообразных:
$$F(x)=\frac{5x^5}{5}+\frac{2x^4}{4}=x^5+\frac{x^4}{2}+C$$
3) $$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}$$
Тогда одна из первообразных:
$$F(x)=2\ln x+3\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=2\ln x-\frac{3}{x}+C$$
4) $$f(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3}{x}$$
Тогда одна из первообразных:
$$F(x)=2\cdot\frac{x^{-2}}{-2}-3\ln x=-\frac{1}{x^2}-3\ln x+C$$
5) $$f(x)=6x^2-4x+3$$
Тогда одна из первообразных:
$$F(x)=\frac{6x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+\frac{3x}{1}=2x^3-2x^2+3x+C$$
6) $$f(x)=4\sqrt[3]{x}-6\sqrt{x}$$
Представим функцию в виде степеней:
$$f(x)=4x^{1/3}-6x^{1/2}$$
Тогда одна из первообразных:
$$F(x)=4\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}-6\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}=3x^{4/3}-4x^{3/2}+C=3x\sqrt[3]{x}-4x\sqrt{x}+C$$
Ответ:
1) $$\frac{x^6}{3}-x^3+C$$; 2) $$x^5+\frac{x^4}{2}+C$$; 3) $$2\ln x-\frac{3}{x}+C$$; 4) $$-\frac{1}{x^2}-3\ln x+C$$; 5) $$2x^3-2x^2+3x+C$$; 6) $$3x\sqrt[3]{x}-4x\sqrt{x}+C$$.
