Упр.985 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все первообразные функции: 1) $$x^4$$; 2) $$x^3$$; 3) $$x^{-3}$$; 4) $$x^{-\frac{1}{2}}$$.

Используем правило: если $$F'(x)=f(x),$$ то все первообразные функции $$f(x)$$ имеют вид $$F(x)+C,$$ где $$C$$ — произвольная постоянная.

1. Для $$f(x)=x^4$$ имеем:

   $$\left(\frac{x^5}{5}\right)’=x^4,$$

   значит, все первообразные:

   $$F(x)=\frac{x^5}{5}+C.$$

2. Для $$f(x)=x^3$$ имеем:

   $$\left(\frac{x^4}{4}\right)’=x^3,$$

   значит, все первообразные:

   $$F(x)=\frac{x^4}{4}+C.$$

3. Для $$f(x)=x^{-3}$$ имеем:

   $$\left(-\frac{x^{-2}}{2}\right)’=x^{-3},$$

   значит, все первообразные:

   $$F(x)=-\frac{1}{2x^2}+C.$$

4. Для $$f(x)=x^{-\frac12}$$ имеем:

   $$\left(2x^{\frac12}\right)’=x^{-\frac12},$$

   значит, все первообразные:

   $$F(x)=2\sqrt{x}+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=\frac{x^5}{5}+C$$; 2) $$F(x)=\frac{x^4}{4}+C$$; 3) $$F(x)=-\frac{1}{2x^2}+C$$; 4) $$F(x)=2\sqrt{x}+C$$.