Упр.983 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой:
   1) $$F(x)=\frac{x^6}{6}$$, $$f(x)=x^5$$;
   2) $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1$$, $$f(x)=x^4$$.

1) Найдём производную функции $$F(x)=\frac{x^6}{6}$$:

$$F'(x)=\frac{1}{6}\cdot 6x^5=x^5.$$

Так как $$F'(x)=f(x),$$ то $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

2) Найдём производную функции $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1$$:

$$F'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5x^4+0=x^4.$$

Следовательно, $$F'(x)=f(x),$$ значит, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

Ответ

1) $$F(x)=\frac{x^6}{6}$$ — первообразная для $$f(x)=x^5$$.

2) $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1$$ — первообразная для $$f(x)=x^4$$.