Упр.972 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна $$l$$, найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника. По условию

$$a+c=l,$$

значит

$$c=l-a.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(l-a)^2-a^2}=\sqrt{l^2-2la}.$$

Площадь треугольника как функция от $$a$$ равна

$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a\sqrt{l^2-2la}.$$

Найдём максимум этой функции:

$$S'(a)=\frac12\sqrt{l^2-2la}+\frac12 a\cdot\frac{-2l}{2\sqrt{l^2-2la}}$$

$$S'(a)=\frac{l^2-2la-la}{2\sqrt{l^2-2la}}=\frac{l^2-3la}{2\sqrt{l^2-2la}}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$l^2-3la=0,$$

откуда

$$a=\frac l3.$$

Это точка максимума, так как при $$a<\frac l3$$ производная положительна, а при $$a>\frac l3$$ — отрицательна.

Тогда

$$c=l-a=l-\frac l3=\frac{2l}{3},$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{\left(\frac{2l}{3}\right)^2-\left(\frac l3\right)^2}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{9}}=\frac{l}{\sqrt3}.$$

Следовательно, наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами $$\frac l3$$ и $$\frac{l}{\sqrt3}$$ и гипотенузой $$\frac{2l}{3}$$.

Ответ: катеты $$\frac l3$$ и $$\frac{l}{\sqrt3}$$, гипотенуза $$\frac{2l}{3}$$.