Упр.951 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти на параболе $$y=x^2$$ точку, ближайшую к точке $$A(2; 0,5)$$.

Пусть искомая точка на параболе имеет вид $$B(x;x^2).$$

Тогда расстояние от точки $$B$$ до точки $$A(2;0{,}5)$$ равно

$$p(x)=\sqrt{(x-2)^2+\left(x^2-0{,}5\right)^2}.$$

Найдём минимум функции $$p(x)$$. Удобнее рассмотреть квадрат расстояния:

$$p^2(x)=(x-2)^2+\left(x^2-0{,}5\right)^2 = x^2-4x+4+x^4-x^2+\frac14 = x^4-4x+\frac{17}{4}.$$

Так как функция $$p(x)$$ возрастает вместе с $$p^2(x)$$, достаточно минимизировать выражение

$$f(x)=x^4-4x+\frac{17}{4}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1).$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$4(x^3-1)=0 \quad \Rightarrow \quad x^3=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

Проверим знак производной: при $$x<1$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$x>1$$ — $$f'(x)>0$$. Значит, при $$x=1$$ достигается минимум.

Тогда

$$y=x^2=1^2=1.$$

Искомая точка: $$B(1;1).$$

Ответ: $$(1;1)$$.