Упр.949 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной $$a$$ так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая $$BK=x$$, найти такое значение $$x$$, при котором площадь треугольника наименьшая.

Пусть $$BK=x.$$ Тогда высота треугольника

$$BD=BK+KD=x+a.$$

Так как прямая $$MN$$ параллельна основанию $$AC,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$BMN$$ подобны. Поэтому

$$\frac{AC}{MN}=\frac{BD}{BK}=\frac{x+a}{x}.$$

Но $$MN=a,$$ значит

$$AC=\frac{(x+a)a}{x}=a+\frac{a^2}{x}.$$

Площадь треугольника равна

$$S(x)=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\left(a+\frac{a^2}{x}\right)(x+a).$$

Упростим:

$$S(x)=\frac12\left(ax+a^2+a^2+\frac{a^3}{x}\right)=\frac12\left(ax+2a^2+\frac{a^3}{x}\right).$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\frac12\left(a-\frac{a^3}{x^2}\right)=\frac{a}{2}\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right).$$

Приравниваем к нулю:

$$\frac{a}{2}\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)=0,$$

откуда

$$1-\frac{a^2}{x^2}=0,\qquad x^2=a^2.$$

Так как $$x>0,$$ получаем

$$x=a.$$

Следовательно, площадь треугольника наименьшая при $$BK=a.$$

Ответ: $$BK=a.$$