Упр.938 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) $$f(x)=x^4-8x^2+5$$ на отрезке $$[-3;2]$$; 2) $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$ на отрезке $$[-2;-0{,}5]$$; 3) $$f(x)=\sin x+\cos x$$ на отрезке $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-8x^2+5$$ на отрезке $$[-3;2].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки на отрезке: $$x=-2,\;x=0,\;x=2.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$\begin{aligned} f(-3)&=81-72+5=14,\\ f(-2)&=16-32+5=-11,\\ f(0)&=5,\\ f(2)&=16-32+5=-11. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=-11,\quad y_{\max}=14.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$ на отрезке $$[-2;-0{,}5].$$

На данном отрезке $$x\neq 0,$$ значит функция определена.

Найдём производную:

$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}.$$

Критические точки:

$$1-\frac{1}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm1.$$

На отрезке $$[-2;-0{,}5]$$ лежит только точка $$x=-1.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$\begin{aligned} f(-2)&=-2+\frac{1}{-2}=-2{,}5,\\ f(-1)&=-1+\frac{1}{-1}=-2,\\ f(-0{,}5)&=-0{,}5+\frac{1}{-0{,}5}=-2{,}5. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2{,}5,\quad y_{\max}=-2.$$

3) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x+\cos x$$ на отрезке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x-\sin x.$$

Критические точки:

$$\cos x-\sin x=0 \;\Rightarrow\; \tan x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ лежит точка $$x=\frac{5\pi}{4}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$\begin{aligned} f(\pi)&=\sin\pi+\cos\pi=0-1=-1,\\ f\left(\frac{5\pi}{4}\right)&=\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2,\\ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)&=\sin\frac{3\pi}{2}+\cos\frac{3\pi}{2}=-1+0=-1. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=-\sqrt2,\quad y_{\max}=-1.$$