Упр.934 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти число действительных корней уравнения:

1) $$x^4-4x^3+20=0$$;

2) $$8x^3-3x^4-7=0$$.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-4x^3+20.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$$

Критические точки:

$$4x^2(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=3.$$

Исследуем знак производной:

при $$x<3$$ имеем $$f'(x)<0,$$ а при $$x>3$$ имеем $$f'(x)>0.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;3)$$ и возрастает на $$(3;+\infty).$$ Минимум достигается при $$x=3$$:

$$f(3)=3^4-4\cdot 3^3+20=81-108+20=-7.$$

Так как $$f(0)=20>0$$, а $$f(3)=-7<0,$$ график пересекает ось $$Ox$$ дважды. Следовательно, уравнение имеет 2 действительных корня.

2) Рассмотрим функцию $$g(x)=8x^3-3x^4-7.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=24x^2-12x^3=12x^2(2-x).$$

Критические точки:

$$12x^2(2-x)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=2.$$

Исследуем знак производной:

при $$x<2$$ имеем $$g'(x)>0,$$ а при $$x>2$$ имеем $$g'(x)<0.$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty).$$ Максимум достигается при $$x=2$$:

$$g(2)=8\cdot 2^3-3\cdot 2^4-7=64-48-7=9.$$

Кроме того, $$g(0)=-7<0.$$ Следовательно, график функции пересекает ось $$Ox$$ дважды, и уравнение имеет 2 действительных корня.

Ответ

1) 2 корня; 2) 2 корня.