Упр.927 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$y=-x^4+8x^2-16$$
$$y’=(-x^4+8x^2-16)’=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=-4x(x-2)(x+2).$$
$$y’=0 \iff x=-2,\;0,\;2.$$
Найдём значения функции в стационарных точках:
$$f(-2)=f(2)=-16+32-16=0,\qquad f(0)=-16.$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ на } (-\infty,-2)\cup(0,2),\qquad y’<0 \text{ на } (-2,0)\cup(2,+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-2)\cup(0,2)$$ и убывает на $$(-2,0)\cup(2,+\infty).$$
Точки максимума: $$x=\pm2,$$ точка минимума: $$x=0.$$
2) $$y=x^4-2x^2+2$$
$$y’=(x^4-2x^2+2)’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
$$y’=0 \iff x=-1,\;0,\;1.$$
Значения функции:
$$f(-1)=f(1)=1,\qquad f(0)=2.$$
Знаки производной:
$$y’<0 \text{ на } (-\infty,-1)\cup(0,1),\qquad y'>0 \text{ на } (-1,0)\cup(1,+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1)$$ и возрастает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty).$$
Точки минимума: $$x=\pm1,$$ точка максимума: $$x=0.$$
3) $$y=\frac14x^4-\frac1{24}x^6$$
$$y’=\left(\frac14x^4-\frac1{24}x^6\right)’=x^3-\frac14x^5=\frac14x^3(4-x^2)=\frac14x^3(2-x)(2+x).$$
$$y’=0 \iff x=-2,\;0,\;2.$$
Значения функции:
$$f(-2)=f(2)=\frac14\cdot16-\frac1{24}\cdot64=\frac43,\qquad f(0)=0.$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ на } (-\infty,-2)\cup(0,2),\qquad y’<0 \text{ на } (-2,0)\cup(2,+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-2)\cup(0,2)$$ и убывает на $$(-2,0)\cup(2,+\infty).$$
Точки максимума: $$x=\pm2,$$ точка минимума: $$x=0.$$
4) $$y=6x^4-4x^6$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=6(-x)^4-4(-x)^6=6x^4-4x^6=y(x).$$
$$y’=(6x^4-4x^6)’=24x^3-24x^5=24x^3(1-x^2)=24x^3(1-x)(1+x).$$
$$y’=0 \iff x=-1,\;0,\;1.$$
Значения функции:
$$f(-1)=f(1)=6-4=2,\qquad f(0)=0.$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ на } (-\infty,-1)\cup(0,1),\qquad y’<0 \text{ на } (-1,0)\cup(1,+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1)$$ и убывает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty).$$
Точки максимума: $$x=\pm1,$$ точка минимума: $$x=0.$$
