Упр.926 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 926. Построить график функции: 1) $$y=x^3-3x^2+4$$; 2) $$y=2+3x-x^3$$; 3) $$y=-x^3+4x^2-4x$$; 4) $$y=x^3+6x^2+9x$$.
1) $$y=x^3-3x^2+4$$
$$y’ = 3x^2-6x = 3x(x-2)$$
Стационарные точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
$$f(0)=4,\qquad f(2)=8-12+4=0.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>2,\qquad y'<0 \text{ при } 0<x<2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$ и убывает на $$(0;2)$$. Точка $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
2) $$y=2+3x-x^3$$
$$y’ = 3-3x^2 = 3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$
Стационарные точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
$$f(-1)=2-3+1=0,\qquad f(1)=2+3-1=4.$$
Знак производной:
$$y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,\qquad y’>0 \text{ при } -1<x<1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и возрастает на $$(-1;1)$$. Точка $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
3) $$y=-x^3+4x^2-4x$$
$$y’=-3x^2+8x-4$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$-3x^2+8x-4=0$$
$$3x^2-8x+4=0$$
$$D=64-48=16$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm4}{6}$$
$$x_1=\frac{2}{3},\qquad x_2=2.$$
$$f\!\left(\frac23\right)=-\frac{8}{27}+\frac{16}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{32}{27},\qquad f(2)=0.$$
Знак производной:
$$y'<0 \text{ при } x<\frac23 \text{ и } x>2,\qquad y’>0 \text{ при } \frac23<x<2.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac23)\cup(2;+\infty)$$ и возрастает на $$\left(\frac23;2\right)$$. Точка $$x=\frac23$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума.
4) $$y=x^3+6x^2+9x$$
$$y’ = 3x^2+12x+9 = 3(x^2+4x+3)=3(x+3)(x+1)$$
Стационарные точки: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.
$$f(-3)=-27+54-27=0,\qquad f(-1)=-1+6-9=-4.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>-1,\qquad y'<0 \text{ при } -3<x<-1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-3;-1)$$. Точка $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.
Ответ: графики всех функций строятся по найденным стационарным точкам и промежуткам возрастания и убывания; для каждой функции указаны точки экстремума и их значения.
