Упр.821 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x+1}$$

Воспользуемся формулой производной частного:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$

Тогда

$$\left(\frac{2x^2-3x+1}{x+1}\right)’= \frac{(4x-3)(x+1)-(2x^2-3x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}$$

$$=\frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x-1}{(x+1)^2} =\frac{2x^2+4x-4}{(x+1)^2}$$

Ответ: $$\frac{2x^2+4x-4}{(x+1)^2}$$

2) $$f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}$$

Используем формулу производной частного:

$$\left(\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}\right)’= \frac{(6x+2)(2x+1)-(3x^2+2x-1)\cdot 2}{(2x+1)^2}$$

$$=\frac{12x^2+6x+4x+2-6x^2-4x+2}{(2x+1)^2} =\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1)^2}$$

Ответ: $$\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1)^2}$$

3) $$f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x}$$

Сначала упростим выражение:

$$\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x} =\frac{(2-x)^2+x}{(2-x)\sqrt{x}} =\frac{x^2-3x+4}{(2-x)\sqrt{x}}$$

Теперь найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)= \frac{(2x-3)(2-x)\sqrt{x}-(x^2-3x+4)\left((2-x)\sqrt{x}\right)’}{\left((2-x)\sqrt{x}\right)^2}$$

После упрощения получаем:

$$f'(x)=\frac{-x^3+x^2+6x-8}{2x\sqrt{x}(2-x)^2}$$

Разложим числитель на множители:

$$-x^3+x^2+6x-8=-(x-2)(x^2+x-4)$$

Но удобнее записать ответ в виде, полученном после сокращения:

$$f'(x)=\frac{(x+2)(5x-x^2-4)}{2x\sqrt{x}(2-x)^2}$$

Ответ: $$\frac{(x+2)(5x-x^2-4)}{2x\sqrt{x}(2-x)^2}$$