Упр.799 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ выполняется равенство $$f'(x)=f(x)$$, если:
1) $$f(x)=(2x-1)^2$$;
2) $$f(x)=(3x+2)^3$$?

1. $$f(x)=(2x-1)^2$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2(2x-1)\cdot 2=4(2x-1).$$

   Требуется решить уравнение $$f'(x)=f(x)$$:

   $$(2x-1)^2=4(2x-1)$$

   $$(2x-1)^2-4(2x-1)=0$$

   $$(2x-1)\bigl((2x-1)-4\bigr)=0$$

   $$(2x-1)(2x-5)=0$$

   Отсюда:

   $$2x-1=0 \quad \text{или} \quad 2x-5=0.$$

   $$x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=\frac52.$$

2. $$f(x)=(3x+2)^3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3(3x+2)^2\cdot 3=9(3x+2)^2.$$

   Решим уравнение $$f'(x)=f(x)$$:

   $$(3x+2)^3=9(3x+2)^2$$

   $$(3x+2)^3-9(3x+2)^2=0$$

   $$(3x+2)^2\bigl((3x+2)-9\bigr)=0$$

   $$(3x+2)^2(3x-7)=0$$

   Отсюда:

   $$3x+2=0 \quad \text{или} \quad 3x-7=0.$$

   $$x=-\frac23 \quad \text{или} \quad x=\frac73.$$

Ответ

1) $$x=\frac12,\ \frac52$$; 2) $$x=-\frac23,\ \frac73$$.