Упр.766 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
   1) $$y=\cos^4 x-\sin^4 x$$;
   2) $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
   3) $$y=1-2\left|\sin 3x\right|$$;
   4) $$y=\sin^2 x-2\cos^2 x$$.

1) $$y=\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

Ответ: $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$$

2) $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулу произведения:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}-\cos 2x\right) =-\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-\frac{1}{2}\le -\frac{1}{2}\cos 2x\le \frac{1}{2}.$$

Ответ: $$y_{\min}=-\frac{1}{2},\quad y_{\max}=\frac{1}{2}.$$

3) $$y=1-2|\sin 3x|.$$

Поскольку $$0\le |\sin 3x|\le 1,$$ то

$$-2\le -2|\sin 3x|\le 0,$$

следовательно,

$$-1\le 1-2|\sin 3x|\le 1.$$

Ответ: $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$$

4) $$y=\sin^2 x-2\cos^2 x.$$

Преобразуем:

$$y=(1-\cos^2 x)-2\cos^2 x=1-3\cos^2 x.$$

Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

$$-3\le -3\cos^2 x\le 0,$$

значит,

$$-2\le 1-3\cos^2 x\le 1.$$

Ответ: $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=1.$$