Упр.763 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку $$[-2\pi;-\pi]$$:
   1) $$1+2\cos x\geqslant0$$;
   2) $$1-2\sin x<0$$;
   3) $$2+\tg x>0$$;
   4) $$1-2\tg x\leqslant0$$.

1) $$1+2\cos x\ge 0$$

$$2\cos x\ge -1$$

$$\cos x\ge -\frac12$$

На отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ это выполняется при

$$x\in\left[-2\pi;\,-\frac{4\pi}{3}\right].$$

2) $$1-2\sin x<0$$

$$-2\sin x<-1$$

$$\sin x>\frac12$$

На отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ получаем

$$x\in\left(-\frac{11\pi}{6};\,-\frac{7\pi}{6}\right).$$

3) $$2+\tg x>0$$

$$\tg x>-2$$

Решения на отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$:

$$x\in\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 2-\pi;\,-\pi\right].$$

4) $$1-2\tg x\le 0$$

$$-2\tg x\le -1$$

$$\tg x\ge \frac12$$

На отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ получаем

$$x\in\left[\arctg\frac12-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-2\pi;\,-\frac{4\pi}{3}\right]$$

2) $$\left(-\frac{11\pi}{6};\,-\frac{7\pi}{6}\right)$$

3) $$\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 2-\pi;\,-\pi\right]$$

4) $$\left[\arctg\frac12-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)$$