Упр.749 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   а) $$\operatorname{tg}^2 x<1$$; б) $$\operatorname{tg}^2 x\geq 3$$; в) $$\operatorname{ctg}x\geq -1$$; г) $$\operatorname{ctg}x>\sqrt{3}$$.

1) $$\tg^2 x<1$$

Так как $$\tg^2 x<1 \iff -1<\tg x<1,$$ то решаем два неравенства:

$$\begin{aligned} \tg x>-1 &\iff -\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\\ \tg x<1 &\iff -\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k. \end{aligned}$$

Пересечение этих промежутков:

$$-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg^2 x\ge 3$$

Имеем:

$$\tg x\le -\sqrt{3}\quad \text{или}\quad \tg x\ge \sqrt{3}.$$

Тогда

$$\begin{aligned} \tg x\le -\sqrt{3} &\iff -\frac{\pi}{2}+\pi k<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi k,\\ \tg x\ge \sqrt{3} &\iff \frac{\pi}{3}+\pi k\le x<\frac{\pi}{2}+\pi k. \end{aligned}$$

Ответ:

$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3) $$\ctg x\ge -1$$

На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\ctg x$$ убывает, поэтому

$$\ctg x\ge -1 \iff 0<x\le \frac{3\pi}{4}.$$

С учётом периодичности получаем:

$$\pi k<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) $$\ctg x>\sqrt{3}$$

На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\ctg x$$ убывает, а

$$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$$

Значит,

$$\ctg x>\sqrt{3}\iff 0<x<\frac{\pi}{6}.$$

С учётом периода:

$$\pi k<x<\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
3) $$\pi k<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
4) $$\pi k<x<\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$