Упр.731 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции: 1) $$y=\sin|x|$$; 2) $$y=|\sin x|$$.

Подробный ответ

1) Для функции $$y=\sin|x|$$ при $$x\ge 0$$ имеем $$y=\sin x$$, а при $$x<0$$ — $$y=\sin(-x)=-\sin x$$. Значит, график можно получить из графика $$y=\sin x$$: правую часть оставить без изменений, а левую отразить относительно оси $$Oy$$.

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений: $$E(y)=[-1;1].$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=\sin|-x|=\sin|x|=y(x).$$

Нули функции:

$$\sin|x|=0 \;\Rightarrow\; |x|=\pi n \;\Rightarrow\; x=\pm \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы достигаются при

$$\sin|x|=1 \;\Rightarrow\; |x|=\frac{\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x=\pm\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимумы достигаются при

$$\sin|x|=-1 \;\Rightarrow\; |x|=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x=\pm\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Для функции $$y=|\sin x|$$ отрицательные значения синуса заменяются противоположными, поэтому часть графика $$y=\sin x$$ ниже оси $$Ox$$ отражается вверх относительно этой оси.

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений: $$E(y)=[0;1].$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=|\sin(-x)|=|-\sin x|=|\sin x|=y(x).$$

Период функции: $$T=\pi,$$ так как

$$|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|.$$

Нули функции:

$$|\sin x|=0 \;\Rightarrow\; \sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы достигаются при

$$|\sin x|=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

График функции $$y=|\sin x|$$ получается из графика $$y=\sin x$$ отражением всех его частей, лежащих ниже оси $$Ox$$, вверх.