Упр.696 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти множество значений функции:

1. $$y=2\sin^2 x-\cos 2x$$;
2. $$y=1-8\cos^2 x\sin^2 x$$;
3. $$y=\frac{1+8\cos^2 x}{4}$$;
4. $$y=10-9\sin^2 3x$$;
5. $$y=1-2|\cos x|$$;
6. $$y=\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$.

1) $$y=2\sin^2 x-\cos 2x=2\sin^2 x-(1-2\sin^2 x)=4\sin^2 x-1.$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$-1\le 4\sin^2 x-1\le 3.$$

Ответ: $$E(y)=[-1;3].$$

2) $$y=1-8\cos^2 x\sin^2 x=1-2\cdot 4\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 2x.$$

Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ то

$$-1\le 1-2\sin^2 2x\le 1.$$

Ответ: $$E(y)=[-1;1].$$

3) $$y=\frac{1+8\cos^2 x}{4}.$$

Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

$$1\le 1+8\cos^2 x\le 9,$$

следовательно,

$$\frac14\le \frac{1+8\cos^2 x}{4}\le \frac94.$$

Ответ: $$E(y)=\left[\frac14;\frac94\right].$$

4) $$y=10-9\sin^2 3x.$$

Так как $$0\le \sin^2 3x\le 1,$$ то

$$1\le 10-9\sin^2 3x\le 10.$$

Ответ: $$E(y)=[1;10].$$

5) $$y=1-2|\cos x|.$$

Так как $$0\le |\cos x|\le 1,$$ то

$$-1\le 1-2|\cos x|\le 1.$$

Ответ: $$E(y)=[-1;1].$$

6) $$y=\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Преобразуем сумму синусов:

$$\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} =\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

$$-\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3}.$$

Ответ: $$E(y)=[-\sqrt{3};\sqrt{3}].$$