Упр.692 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти множество значений функции:

1. $$y=1+\sin x$$
2. $$y=1-\cos x$$
3. $$y=2\sin x+3$$
4. $$y=1-4\cos 2x$$
5. $$y=\sin 2x\cos 2x+2$$
6. $$y=\frac{1}{2}\sin x\cos x-1$$

1) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

$$0 \le 1+\sin x \le 2.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

2) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$0 \le 1-\cos x \le 2.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

3) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

$$-2 \le 2\sin x \le 2.$$

Прибавим $$3$$ ко всем частям неравенства:

$$1 \le 2\sin x+3 \le 5.$$

Следовательно, $$E(y)=[1;5].$$

4) Так как $$-1 \le \cos 2x \le 1,$$ то

$$-4 \le -4\cos 2x \le 4.$$

Прибавим $$1$$ ко всем частям неравенства:

$$-3 \le 1-4\cos 2x \le 5.$$

Следовательно, $$E(y)=[-3;5].$$

5) Используем формулу:

$$\sin 2x \cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x.$$

Тогда

$$y=\frac{1}{2}\sin 4x+2.$$

Так как $$-1 \le \sin 4x \le 1,$$ то

$$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x \le \frac{1}{2}.$$

Прибавим $$2$$:

$$\frac{3}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x+2 \le \frac{5}{2}.$$

Следовательно, $$E(y)=\left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right].$$

6) Используем формулу:

$$\sin x \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.$$

Тогда

$$y=\frac{1}{2}\sin x\cos x-1=\frac{1}{4}\sin 2x-1.$$

Так как $$-1 \le \sin 2x \le 1,$$ то

$$-\frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\sin 2x \le \frac{1}{4}.$$

Прибавим $$-1$$:

$$-\frac{5}{4} \le \frac{1}{4}\sin 2x-1 \le -\frac{3}{4}.$$

Следовательно, $$E(y)=\left[-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right].$$

Ответ

1) $$[0;2]$$; 2) $$[0;2]$$; 3) $$[1;5]$$; 4) $$[-3;5]$$; 5) $$\left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]$$; 6) $$\left[-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right].$$