Упр.687 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ уравнение $$\sin^4 x+\cos^4 x=a$$ имеет корни? Найти эти корни.

$$\sin^4 x+\cos^4 x=a$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Тогда

$$1-2\sin^2 x\cos^2 x=a,$$

$$1-a=2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$1-a=\frac12\sin^2 2x,$$

$$\sin^2 2x=2-2a.$$

Чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы

$$0\le 2-2a\le 1.$$

Отсюда

$$\frac12\le a\le 1.$$

Теперь найдём корни. Из равенства

$$\sin^2 2x=2-2a$$

получаем

$$\sin 2x=\pm\sqrt{2-2a}.$$

Тогда

$$2x=\pm\arcsin\sqrt{2-2a}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

и, следовательно,

$$x=\pm\frac12\arcsin\sqrt{2-2a}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\frac12\le a\le 1; \qquad x=\pm\frac12\arcsin\sqrt{2-2a}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$