Упр.683 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\sqrt{-4\cos x\cos 2x}=\sqrt{7\sin 2x}$$

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{-4\cos x\cdot \cos 2x}=\sqrt{7\sin 2x}.$$

Так как корни равны, то равны и подкоренные выражения, причём они неотрицательны:

$$-4\cos x\cdot \cos 2x=7\sin 2x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$-4\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)=14\sin x\cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$-4\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-14\sin x\cos x=0,$$

$$-2\cos x\,(2-4\sin^2 x+7\sin x)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0$$

или

$$2-4\sin^2 x+7\sin x=0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $$\sin x$$:

$$4\sin^2 x-7\sin x-2=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$4y^2-7y-2=0.$$

Дискриминант:

$$D=49+32=81.$$

Тогда

$$y_1=\frac{7-9}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{7+9}{8}=2.$$

Значение $$y_2=2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1]$$. Значит, остаётся

$$\sin x=-\frac14.$$

Теперь запишем решения:

$$\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$\sin x=-\frac14 \;\Rightarrow\; x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но нужно учесть условие неотрицательности подкоренных выражений. Для $$\sin x=-\frac14$$ оно выполняется только при

$$x=\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, получаем ответ:

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\qquad x=\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$