Упр.675 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
2. $$\cos x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x$$

1) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x$$

Преобразуем разности косинусов:

$$\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x,$$

$$\cos 2x-\cos 4x=2\sin 3x\sin x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\sin x=2\sin 3x\sin x,$$

$$2\sin x(\sin 2x-\sin 3x)=0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin 2x-\sin 3x=2\cos\frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=-2\cos\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2}.$$

Получаем

$$4\sin x\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{5x}{2}=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

но это входит в решение $$x=\pi n.$$

3) $$\cos\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$