Упр.660 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin^2 x+\sin x=0$$
2. $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$
3. $$\cos^2 x-2\cos x=0$$
4. $$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

1) $$2\sin^2 x+\sin x=0$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда

$$3y^2-5y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=25+24=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac13,\quad y_2=2.$$

Значит,

$$\sin x=-\frac13$$

или

$$\sin x=2.$$

Второе уравнение решений не имеет, поэтому

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos^2 x-2\cos x=0$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x(\cos x-2)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=2.$$

Второе уравнение решений не имеет, значит

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$6y^2+7y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=49+72=121,$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac32,\quad y_2=\frac13.$$

Так как $$\cos x=-\frac32$$ невозможно, остаётся

$$\cos x=\frac13.$$

Следовательно,

$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$