Упр.659 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg}\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$$
2. $$\operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
3. $$\sqrt{3}-\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=0$$
4. $$1-\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{7}\right)=0$$

1. $$\tg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

   Так как $$\tg \alpha=-1$$ при $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

   $$2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

   Тогда

   $$2x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt3}$$

   Так как $$\tg \alpha=\frac{1}{\sqrt3}$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

   $$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+\pi k.$$

   Тогда

   $$3x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}+\pi k=\frac{5\pi}{12}+\pi k,$$

   $$x=\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi}{3}k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt3-\tg\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=0$$

   Отсюда

   $$\tg\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt3.$$

   Так как $$\tg \alpha=\sqrt3$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

   $$x-\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{3}+\pi k.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{5}+\pi k=\frac{8\pi}{15}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$1-\tg\left(x+\frac{\pi}{7}\right)=0$$

   Отсюда

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{7}\right)=1.$$

   Так как $$\tg \alpha=1$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

   $$x+\frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{7}+\pi k=\frac{3\pi}{28}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\ k\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi}{3}k,\ k\in\mathbb Z$$; 3) $$x=\frac{8\pi}{15}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\frac{3\pi}{28}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.