Упр.648 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

648. 1) $$\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$; 2) $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 4) $$\cos x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

1) $$\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для неравенства вида $$\cos x \ge a$$ получаем:

$$-\arccos a+2\pi n \le x \le \arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n \le x \le \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Для неравенства вида $$\cos x < a$$ имеем:

$$\arccos a+2\pi n < x < 2\pi-\arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n < x < 2\pi-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Для неравенства вида $$\cos x > a$$ получаем:

$$-\arccos a+2\pi n < x < \arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n < x < \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n,$$

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для неравенства вида $$\cos x \le a$$ имеем:

$$\arccos a+2\pi n \le x \le 2\pi-\arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n \le x \le 2\pi-\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n,$$

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\begin{aligned} 1)&\ -\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 2)&\ \frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 3)&\ -\frac{5\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 4)&\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$