Упр.629 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3\sin x\cos x=\sin 2x$$
2. $$2\sin x\cos x=\cos x$$
3. $$\sin 4x+\sin2 2x=0$$
4. $$\sin 2x+2\cos2 x=0$$

1) $$\sqrt{3}\sin x\cos x=\sin^2 x$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$

$$\sin x(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\cos x-\sin x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \sqrt{3}-\tg x=0 \Rightarrow \tg x=\sqrt{3}$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$2\sin x\cos x=\cos x$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3) $$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$

Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$2\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$

$$\sin 2x(2\cos 2x+\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+\sin 2x=0$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

2) $$2\cos 2x+\sin 2x=0 \Rightarrow 2+\tg 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=-2$$

$$2x=-\arctg 2+\pi n \Rightarrow x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\; -\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

4) $$\sin 2x+2\cos^2 x=0$$

Преобразуем $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

$$2\cos x(\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$